Le site présent ne prétend pas rendre compte de l'ensemble des arcanes des "Principia Mathematica" de Whitehead et Russell, écrits entre 1885 et 1913, mais juste de noter les objectifs, les enjeux et les résultats.

1) Le contexte : l'histoire des mathématiques n'est pas le déroulement d'un tapis rouge vers le temple formel des figures, des nombres, et des relations qu'ils entretiennent entre eux.

A l'époque, il y a opposition entre 2 grandes traditions mathématiques :

• Tradition "constructiviste" et "intuitionniste" représentée par Henri Poincaré : Les mathématiques sont le résultat d'une construction à partir des nombres, des figures et des relations que l'on y fait. Comment expliquer que l'on parvienne par construction à des théories de plus en plus abstraites? Parce que le sujet qui pense les mathématiques a fondamentalement une "‘intuition" de l'abstraction.

Cette tradition refuse les travaux de Cantor sur l'infini

• Tradition "logiciste" représentée surtout par Russell et ses disciples. Les mathématiques doivent être définies à partir de la généralité la plus grande : Cantor et les recherches logiques (depuis Aristote) nous ont donné les moyens de penser les mathématiques à partir des ensembles et de l'infini.

En mathématiques, tout étudiant apprend à démontrer (ou infirmer)
des hypothèses (ou des conjectures)
fondées sur des axiomes et des théorèmes déjà démontrés

Par exemple le 5ème axiome d'Euclide dit qu'en un point extérieur à une droite D, il ne passe qu'une seule droite parallèle D'. Le théorème de Thalès ajoute que si deux droites sécantes en O coupent les droites précédentes en A et B, et en A' et B', il existe des rapports OA/OB = OA'/OB'.

A l'étudiant on demandera de démontrer l'hypothèse selon laquelle AB/A'B' = OA/OA' ou l'on lui proposera de calculer une de ces grandeurs connaissant les autres...

Mais un mathématicien ne se contente pas d'accepter les axiomes : il veut savoir si ces axiomes sont eux-mêmes fondés et si l'on peut réduire ces axiomes à un noyau minimum.

Whitehead et Russell vont tenter, dans cette ligne, de réduire l'ensemble de l'architecture des mathématiques
à un nombre minimum d'axiomes logiques. Les résultats seront surprenants...

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